三角関数の公式

相互関係

$$ \sin^2\theta+\cos^2\theta=1 $$ $$ \tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} ​$$ $$ 1+\tan^2\theta=\dfrac{1}{\cos^2\theta} $$ $$ 1+\dfrac{1}{\tan^2\theta}=\dfrac{1}{\sin^2\theta} ​$$

変換公式

覚えるのではなく、導出できるようにする。 $$ \sin(90^{\circ}-\theta)=\cos\theta $$ $$ \cos(90^{\circ}-\theta)=\sin\theta $$ $$ \tan(90^{\circ}-\theta)=\dfrac{1}{\tan\theta} $$

$$ \sin(180^{\circ}-\theta)=\sin\theta $$ $$ \cos(180^{\circ}-\theta)=-\cos\theta $$ $$ \tan(180^{\circ}-\theta)=-\tan\theta $$ $$ \sin(-\theta)=-\sin\theta $$ $$ \cos(-\theta)=\cos\theta $$ $$ \tan(-\theta)=-\tan\theta $$

加法定理

$$ \sin (\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta $$ $$ \sin (\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta $$ $$ \cos (\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta $$ $$ \cos (\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta $$ $$ \tan (\alpha+\beta)=\dfrac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta} ​$$ $$ \tan (\alpha-\beta)=\dfrac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta} $$

倍角，三倍角，半角の公式

倍角の公式

$$ \sin 2x=2\sin x\cos x $$ $$ \begin{eqnarray} \cos 2x Z&=&\cos^2 x - \sin^2 x \\ &=& 2\cos^2 x-1 \\ &=&1-2\sin^2 x \end{eqnarray} $$ $$ \tan 2x=\dfrac{2\tan x}{1-\tan^2 x} $$

半角の公式

$$ \sin^2 x=\dfrac{1-\cos 2x}{2} ​$$

$$ \cos^2 x=\dfrac{1+\cos 2x}{2} ​$$ $$ \tan^2 x=\dfrac{1-\cos 2x}{1+\cos 2x} ​$$

$$ \sin^2 \dfrac{x}{2}=\dfrac{1-\cos x}{2} ​$$

$$ \cos^2 \dfrac{x}{2}=\dfrac{1+\cos x}{2} ​$$

三倍角の公式

$$ \sin 3x=-4\sin^3 x+3\sin x $$ $$ \cos 3x=4\cos^3 x-3\cos x $$

合成

加法定理の逆と考えれる。
$\sin$と$\cos$のどちらでもまとめられるようになっておく。

sinでまとめる

(aとbのいずれかが0でないとき） $$ a\sin\theta+b\cos\theta=\sqrt{a^2+b^2}\sin(\theta+\alpha) $$

ただし、 $\alpha$ は
$$\sin\alpha=\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}},\cos\alpha=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} ​$$を満たす角度。

例1

$$ \begin{eqnarray} \sin\theta+\sqrt{3}\cos\theta &=& 2\left(\dfrac{1}{2}\sin\theta+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos\theta\right) \\ &=& 2\left(\sin\theta \cos \dfrac{\pi}{3}+\cos\theta\sin \dfrac{\pi}{3}\right) \\ &=& 2\sin(\theta + \dfrac{\pi}{3}) \end{eqnarray} $$

例2

$$ \begin{eqnarray} a\sin\theta+b\cos\theta &=& \sqrt{a^2+b^2}\left(\dfrac{a\sin\theta}{\sqrt{a^2+b^2}}+\dfrac{b\cos\theta}{\sqrt{a^2+b^2}}\right) \\ &=& \sqrt{a^2+b^2}\left(\sin x \cos \alpha + \cos x \sin \alpha\right) \\ &=& \sqrt{a^2+b^2}\sin (\theta + \alpha) \end{eqnarray} $$

cosでまとめる

(aとbのいずれかが0でないとき） $$ a\sin\theta+b\cos\theta=\sqrt{a^2+b^2}\cos(\theta+\alpha) $$

ただし、 $\alpha$ は
$$\sin\alpha=\dfrac{-a}{\sqrt{a^2+b^2}},\cos\alpha=\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} ​$$ を満たす角度。

例1

$$ \begin{eqnarray} \sin\theta+\sqrt{3}\cos\theta &=& 2\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos\theta - (- \dfrac{1}{2})\sin\theta\right) \\ &=& 2\left(\cos\theta \cos -\dfrac{\pi}{6}+\sin\theta\sin -\dfrac{\pi}{6}\right) \\ &=& 2\cos(\theta - \dfrac{\pi}{6}) \end{eqnarray} $$

例2

$$ \begin{eqnarray} a\sin\theta+b\cos\theta &=& \sqrt{a^2+b^2}\left(\dfrac{b\cos\theta}{\sqrt{a^2+b^2}}+\dfrac{a\sin\theta}{\sqrt{a^2+b^2}}\right) \\ &=& \sqrt{a^2+b^2}\left(\cos x \cos \alpha - \sin x \sin \alpha\right) \\ &=& \sqrt{a^2+b^2}\cos (\theta + \alpha) \end{eqnarray} $$

和積、積和の公式

表を書けば覚える必要なし。

和積公式

$$ \sin x+\sin y=2\sin\dfrac{x+y}{2}\cos\dfrac{x-y}{2} ​$$ $$ \sin x-\sin y=2\cos\dfrac{x+y}{2}\sin\dfrac{x-y}{2} ​$$ $$ \cos x+\cos y=2\cos\dfrac{x+y}{2}\cos\dfrac{x-y}{2} $$ $$ \cos x-\cos y=-2\sin\dfrac{x+y}{2}\sin\dfrac{x-y}{2} $$

積和公式

$$ \sin x\cos y=\dfrac{1}{2}{\sin(x+y)+\sin(x-y)} $$ $$ \cos x\sin y=\dfrac{1}{2}{\sin(x+y)-\sin(x-y)} $$ $$ \sin x\sin y=\dfrac{1}{2}{\cos(x-y)-\cos(x+y)} $$ $$ \cos x\cos y=\dfrac{1}{2}{\cos(x+y)+\cos(x-y)} $$